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Bem Vindo ao Mundo do PiPara Voltar ao inícioAcredites ou não, sempre tens vivido num mundo rodeado por números. É mais um desses números que aqui te queremos apresentar, mas este com particularidades muito especiais. São algumas dessas particularidades que o fazem ser um número tão distinto de todos os outros. Aquilo que provavelmente já sabes, é que o p: é a razão entre o perímetro da circunferência e o seu diâmetro é um pouco maior que 3 e menor que 4, aparece na maioria dos livros de Matemática, é uma letra grega e um número infinito. No entanto o p não é algo para comer, algo para vestir, nem o nome de uma canção (pelo menos ainda), ou um brinquedo (a não ser que se prefira usá-lo como tal), não é imaginário nem é apenas 3,14 nem memorizado para além dos 42.000 dígitos. O que podes não saber é que o p é a 16ª letra do alfabeto grego, um nome de um filme de Darren Aronofsky, um nome de um perfume e um número com uma história que remonta os princípios dos tempos p não é: imaginário apenas 3,14 memorizado para além dos 42.000 dígitos. Mas, à medida que percorreres as páginas que se seguem, vais ficar a saber muito mais coisas acerca deste fantástico número.
Para Voltar ao inícioComo se sabe p é o número mais famoso da história universal, o qual recebeu um nome próprio, um nome grego, pois embora seja um número, não pode ser escrito com um número finito de algarismos. O p representa a razão entre o perímetro do círculo e seu diâmetro, este tem uma história fascinante, que começou acerca de 4000 anos atrás. Antes de mais é importante focar que na história do p, um dos passos fundamentais, consistiu em adquirir consciência da constância da razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer círculo, pois sem esta consciência nunca se teria calculado o p. Inúmeros povos andaram à sua procura mesmo antes que chegassem a ter consciência matemática. No velho testamento (I Reis 7: 23) lê-se: "E ele (Salomão) fez também um lago de dez cúbitos, de margem a margem, circular, cinco cúbitos de fundo, e trinta cúbitos em redor", este mesmo verso aparece também em II Crónicas 4:2. Esta passagem ocorre numa lista de especificações para o grande templo de Salomão, construído cerca de 950 a.C. A circunferência era, pois, seis vezes o raio, ou três vezes o diâmetro. Isto significa que os antigos Hebreus se contentavam em atribuir a p o valor 3. Este valor foi possivelmente encontrado por medição. Alguns aproveitam ridiculamente esta passagem da bíblia para contestar que a bíblia não pode provir de Deus... ". Mas bíblia não é um livro de texto cientifico e esta passagem especifica não foi escrita com a intenção de revelar o valor do p, mas para dar uma descrição do templo e dos objectos nele contidos. O valor 3 foi usado durante muito tempo por motivos religiosos e culturais em certas civilizações, como a dos Egípcios e a dos Babilónios, quando já se conheciam nessas mesmas civilizações determinações melhores. Nas matemáticas babilónicas a melhor aproximação do p é a bíblia, como já referimos... "Fez o tanque de fundição, redondo, com 10 côvados de diâmetro, 5 côvados de altura e 30 de circunferência". No caso Babilónio o valor 3+1/8 deduz-se de uma das Placas de Susa, único exemplo conhecido nessas épocas do que parece ser familiaridade com um processo geral que, em principio, permite determinações tão exactas quanto se queira. Não sabemos, em pormenor, de que modo os Babilónios chegaram a esta boa aproximação. p = 30/10 = 3 No caso Egípcio ignoramos como chegaram ao valor 4 (8/9) 2, que se encontra no Papiro de Ahmes ou Rhind, gravado no segundo século a.C. É este valor que se obtém experimentalmente, medindo a circunferência de latas, pratos, cestas e dividindo-a pelos diâmetros respectivos. A regra prática utilizada para achar a área de qualquer corpo circular é "dividir o diâmetro em nove partes. tirar uma dessas partes e quadrar", ou seja: A = (2r - 2r/9) 2 = (16/9) 2 . r2 Como A = p. r2 isto é, p = A/r2, o valor de p para os egípcios é: p = (16/9)2 = 3,160 Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.), pôs mãos à obra com expedientes novos, muito profundos. Sabia que p não era racionalmente determinável, ou, ao menos, o suspeitava. Assim sendo, propôs-se descobrir um processo para a determinação de p , o Método de Arquimedes, com a precisão que se desejasse. Este usou, processos geométricos, complicados mas gerais, que dão limites inferiores e superiores para p . Arquimedes utilizou alguns polígonos regulares, com um número crescente de lados, até chegar ao polígono de 96 lados, através do qual obteve a seguinte aproximação de p . 3,1410 < p < 3,1428 No entanto Hui (263 d. C.) descobriu, através de polígonos regulares inscritos e circunscritos que: 3,1401 < p < 3,1427 Dois séculos mais tarde, no ano 480 da nossa era, um certo engenheiro hidráulico chinês de nome Tsu Chung-Chi /430-501 d.C.), chegou a um valor de p extraordinariamente preciso, considerada a época em que foi calculado. O p de Tsu Chung-Chi, em nossa notação decimal, oscilaria entre 3,1415926 e 3,1415927. Sendo desconhecido como é que ele chegou a este resultado. Na Índia (Séc. V e VI) Aryabhata, (476-550), na sua obra "Aryabhatiya", enuncie: "Junte 4 a 100, multiplique por 8, junte ainda 62.000, ter-se-á assim para um diâmetro de duas míriadas (20.000), o comprimento aproximado da circunferência". Na Itália (Séc. XIII), o Papa Inocêncio III, governava os estados pontifícios desde 1198 e, em 1212 conseguiu proclamar o seu pupilo Frederico II, rei da Germânia e, na corte deste monarca, em Itália, se notabilizou Leonardo Fibonnaci. Frederico II, de cognome "stupor mundi" ( o espanto do mundo) nasceu em 1194 e, era neto de Frederico Barba Roxa. Conhecedor de todas as línguas que se falavam na capital do seu reino da Secília: francês, italiano, latim, grego e árabe, assimilou o essencial de três civilizações universais (a clássica, a cristã, e a oriental) e, fez da sua corte de Palermo, um centro de cultura numa espécie de Academia das Ciências. Em Nápoles fundou a primeira Universidade subsidiada pelo Estado. Partiu do valor de Arquimedes 22/7, a que chamou inexacto e, conhecendo o valor 377/120 calculado por Ptolomeu, calculou um valor a que chamou "exacto". p = 355/113 = 3,1415929 A época do Renascimento Europeu trouxe, na altura devida, um novo mundo matemático. Entre os primeiros efeitos deste renascer está a necessidade de encontrar uma fórmula para o p . Descobriu então a definição não geométrica de p e do papel "não geométrico" deste valor. Assim se chegou à descoberta das representações de p por séries infinitas. Um Inglês chamado Shanks, usou a fórmula de Machin para calcular p até às 707 casas decimais, das quais só 527 estavam correctas, publicando o resultado do seu trabalho em 1873. Em 1949 um computador foi usado para calcular p até às 2000 casas decimais. Em 1961 conseguiu-se através de computação a aproximação de p através de 100 265 casas decimais, mais tarde em 1967 aproximou-se até às 500 000 casas decimais. Recentemente, David Bailey, Peter Borwein e Simon Plouffe contabilizaram 10 bilhões de casas decimais para p , usando uma fórmula que dá cada casa decimal do p individualmente, para cada n escolhido. É ainda importante focar, que o primeiro símbolo p , com o significado que este tem hoje em dia, foi o matemático inglês William Jones em 1706. O matemático suíço Leonhard Euler em 1737 adoptou o símbolo que rapidamente se tornou uma notação standard. Para Voltar ao início2000 a.C. Babilónios usavam p = 3.125 2000 a.C. Egípcios usavam p = 3,1605 Século XII a.C. Chineses usavam p = 3 550 a.C. I Reis 7,23 afirma p = 3 Século III a.C. Arquimedes estabeleceu 3,1410 < p < 3,1428 Século II d.C. Ptolomeu usa p = 3,14166 .... Século III d.C. Chung Hing usa p = 3,16 .... 263 d.C. Liu Hui usa p = 3,14 Século V Tsu Chung-Chi estabelece 3,1415926 < p < 3,141592 500 Arybhatta usa p = 3,1416 Século VI Brahmagupta usa p = raiz quadrada de 10 = 3,16... 1220 Leonardo de Pisa (Fibonacci) descobre p = 3,141818 Antes de 1436 Al-Kashi de Samarkand calcula p com 14 casas decimais 1593 Adriaen van Roomen calcula p com 15 casas decimais 1596 Ludolph van Ceulen calcula p com 32 casas decimais. 1655 Wallis define p como um produto racional infinito 1665-1666 Newton descobre o cálculo e calcula p até pelo menos 16 casas decimais 1671 Gregory descobre a série do arctangente. 1674 Leibniz descobre a série do arctangente para o p 1705 Sharp calcula p com 72 casas decimais 1706 Machin calcula p com 100 casas decimais 1719 De Lagny calcula p com 127 casas decimais 1748 Euler publica o teorema de Euler e muitas séries para o p 1761 Lambert prova a irracionalidade do p 1794 Vega calcula p com 140 casas decimais 1844 Strassnitzky e Dase calculam p com 200 casas decimais 1855 Richter calcula p com 500 casas decimais 1873-74 Shanks calcula p com 707 casas decimais 1882 Lindemann prova que p é transcendente 1947 Fergussom calcula p com 808 casas decimais 1949 ENIAC é programado para calcular p com 2037 casas decimais 1954-55 NORC é programado para calcular p com 3089 casas decimais 1959 IBM 704 (Paris) calcula p com 16167 casas decimais 1961 Shanks e Wrench melhora o programa de computador para o p 1966 IBM 7030 (Paris) calcula p com 250000 casas decimais 1967 CDC 6600 (Paris) calcula p com 500000 casas decimais 1976 Jean Guilloud e M. Bouyer usam um CDC 7600 para computarem 1 milhão de casas decimais em 23,3 horas. 1983 Y Tamura e Y Kanada usam um HITAC M-280H para computar 18 milhões de dígitos em trinta horas. 1988 Kanada computa 201326000 dígitos num Hitachi AS-830, em seis horas 1995 Kanada computa 6 mil milhões de dígitos 1996 Os irmãos Chudnovsky computam mais de 8 milhares de milhão de dígitos. 1997 Kanada e Takashi calculam 51,5 milhares de milhão de dígitos num Hitachi SR2201, em pouco mais de 29 horas.
A Transcendência de Pi
Para Voltar ao inícioO p é um número com características muito especiais. Uma delas é ser transcendente, ou seja, não é um número algébrico, pois não é raiz de nenhum polinómio com coeficientes racionais. Para demostrarmos a transcendência do p vamos recuar um pouco no tempo e conhecer alguns resultados que são importantes para a nossa demonstração. Em 1873 Charles Hermite (1822-1901) provou que´o número é transcendente. Disto conclui-se que a equação finita: a er + b es c et + ... = 0 , não pode ser satisfeita se r, s, t, ... forem números naturais e a, b, c, ... forem números racionais, nem todos iguais a zero. Em 1882, Ferdinand Lindemann (1852-1939) teve finalmente sucesso em encontrar uma extensão do teorema de Hermite, para o caso em que r, s, t, ... e a, b, c, ... são números algébricos, não necessariamente reais. O teorema de Lindemann pode ser enunciado da seguinte forma: Se r, s, t, ... z, são números algébricos, reais ou complexos distintos, e a, b, c, ... n, são números algébricos reias ou complexos, em pelo menos um difere de zero, então a er + b es c et + .. + nez = (1), não pode ser igual a zero. Usando o teorema de Euler, na forma e ip + 1 = 0 , temos uma expressão da forma (1) com a= b = 1 algébricos, todos os outros coeficientes iguais a zero. Substituímos s=0 algébrico e r = ip. Então ip tem de ser transcendente, e como i é algébrico, p tem de ser transcendente. A possibilidade da quadratura do círculo pela construção euclidiana dependia inteiramente do p ser ou não algébrico. O teorema de Lindemann provou então a irracionalidade do p , e provou que o problema da quadratura do círculo é impossível pelas regras da geometria grega. Portanto a transcendência do p implica que não existe uma construção com régua e compasso, para construir um quadrado com igual área a um círculo dado. Isto é o fim da história do p e da quadratura do círculo.
Para Voltar ao inícioAgora que a viagem pelo mundo do p chegou ao fim ... apercebemo-nos da sua verdadeira dimensão. Afinal aquele número que todos conhecemos desde, pelo menos o oitavo ano, e que tão útil tem sido para nós (alunos), escondia aspectos nunca por nós imagináveis... Este trabalho permitiu-nos não só aprender mais sobre o p , como nos integrar nalguns aspectos da História da Matemática, desde longa data até aos tempos actuais. |
